Álgebra Lineal
Academia Plus es la solución que buscas para el curso de Álgebra Lineal

Ejercicios desarrollados de Álgebra Lineal
Puedes obtener el desarrollo completo de las actividades, en el editor de ecuaciones de Word y en menos de 24 horas.

Atención personalizada
Asesoría personalizada para tus actividades y el curso de Álgebra Lineal
Llámanos
Correo

Vídeos elaborados con inteligencia artificial
Solución paso a paso de los ejercicios de Álgebra Lineal
…
Tags
Curso: Álgebra Lineal
Código: 208046
Guía de actividades y rúbrica de evaluación
Tarea 2. Vectores, matrices y determinantes
Ejercicio 1. Resolución de problemas básicos de vectores en el plano.
Para cada uno de los siguientes pares de puntos, trace el vector 𝑷𝑸ሬሬሬሬሬሬ⃗ en el plano
cartesiano utilizando GeoGebra. Luego, calcule, y vuelva a trazar 𝑷𝑸ሬሬሬሬሬሬ⃗ como un
vector en el plano que se encuentra en posición estándar.
A. 𝑷 = (𝟏, −𝟏) y 𝑸 = (𝟒, 𝟐).
B. 𝑷 = (𝟐, −𝟑) y 𝑸 = (−𝟑, 𝟏).
C. 𝑷 = (−𝟒, −𝟏) y 𝑸 = (𝟏, 𝟐).
D. 𝑷 = (𝟑, −𝟏) y 𝑸 = (𝟓, 𝟑).
E. 𝑷 = (𝟐, −𝟏) y 𝑸 = (𝟏, 𝟓).
Nota: Un vector, como 𝑶𝑨ሬሬሬሬሬሬ⃗ , con su punto inicial en el origen se considera en
posición estándar. Este ejercicio muestra que cualquier vector puede
representarse como un vector en posición estándar. Además, un vector en
posición estándar puede trasladarse para que su origen se encuentre en
cualquier punto del plano.
Ejercicio 2. Resolución de problemas básicos de vectores en el espacio.
Considere los vectores 𝒗ሬሬ⃗ y 𝒘ሬሬሬ⃗ correspondientes al literal escogido. Ahora,
proceda a calcular:
La suma 𝒖ሬሬ⃗ = 𝒗ሬሬ⃗ + 𝒘ሬሬሬ⃗ .
La magnitud (o norma) de 𝒖ሬሬ⃗ .
El vector unitario en la dirección de 𝒖ሬሬ⃗ .
El ángulo formado por los vectores 𝒗ሬሬ⃗ y 𝒘.ሬሬሬሬ⃗
A. 𝒗ሬሬ⃗ = (𝟏, −𝟑, 𝟐) y 𝒘ሬሬሬ⃗ = (𝟏, 𝟕, −𝟐).
B. 𝒗ሬሬ⃗ = (𝟔, 𝟒, −𝟏) y 𝒘ሬሬሬ⃗ = (𝟏, −𝟒, 𝟐).
C. 𝒗ሬሬ⃗ = (𝟑, 𝟏, 𝟎) y 𝒘ሬሬሬ⃗ = (𝟏, 𝟑, 𝟒).
D. 𝒗ሬሬ⃗ = (𝟑, 𝟐, −𝟒) y 𝒘ሬሬሬ⃗ = (𝟔, 𝟏, −𝟐).
E. 𝒗ሬሬ⃗ = (𝟓, 𝟐, −𝟏) y 𝒘ሬሬሬ⃗ = (𝟏, 𝟗, −𝟐).
4
Ejercicio 3. Operaciones entre vectores en ℝଷ.
Considere los vectores 𝒖ሬሬ⃗ y 𝒗ሬሬ⃗ correspondiente al literal seleccionado.
Calcule el producto cruz 𝒖ሬሬሬ⃗ × 𝒗ሬሬሬ⃗
Determine la proyección ortogonal del vector 𝒖ሬሬ⃗ sobre 𝒗ሬሬ⃗ .
A. 𝒖ሬሬ⃗ = (𝟖, −𝟏, 𝟎) y 𝒗ሬሬ⃗ = (2, 𝟑, −𝟏).
B. 𝒖ሬሬ⃗ = (𝟏, 𝟑, −𝟐) y 𝒗ሬሬ⃗ = (𝟑, 𝟐, −𝟏).
C. 𝒖ሬሬ⃗ = (𝟏, −𝟐, 𝟏) y 𝒗ሬሬ⃗ = (−𝟏, 𝟒, −𝟏).
D. 𝒖ሬሬ⃗ = (−𝟕, 𝟏, 𝟓) y 𝒗ሬሬ⃗ = (−𝟕, −𝟔, 𝟒).
E. 𝒖ሬሬ⃗ = (𝟐, 𝟑, −𝟏) y 𝒗ሬሬ⃗ = (𝟓, −𝟑, −𝟐).
Ejercicio 4. Operaciones entre matrices.
Considere las siguientes matrices
𝑨 = ൭
𝟐 −𝟑 −𝟑
𝟑 𝟏 𝟎
−𝟏 𝟏 𝟐
൱ ; 𝑩 = ൭
𝟕 −𝟐
𝟑 𝟓
𝟏 −𝟒
൱ ; 𝑪 = ቀ𝟐 𝟏 𝟑
𝟏 −𝟐 𝟎ቁ ; 𝑫 = ൭
𝟓 𝟔 𝟎
𝟏 −𝟏 𝟑
𝟎 −𝟏 𝟎
൱.
Realice las operaciones algebraicas correspondientes según el literal
seleccionado y obtenga la matriz 𝑼. Luego, realice el producto 𝑼. 𝒗ሬሬ⃗ ,
donde 𝑼 es la matriz obtenida en el ítem anterior y el vector se
representa como columna 𝒗ሬሬ⃗ = (𝟓, 𝟕, −𝟑)𝑻.
A. 𝑼 = 𝟑𝑨 + 𝑩. 𝑪 + 𝑫𝑻
B. 𝑼 = (𝟓𝑩). 𝑪 + 𝑨𝑻
C. 𝑼 = (𝟐𝑩). (𝟑𝑪) + (𝑨 − 𝟑𝑫)𝑻
D. 𝑼 = (−𝟑𝑩). (𝟐𝑪) + (𝑨. 𝑫)𝑻
E. 𝑼 = (𝑩. 𝑪) + (𝟗𝑨 − 𝟑𝑫) + 𝑨𝑻
Ejercicio 5. Cálculo de la matriz inversa de tamaño 𝟑 × 𝟑.
Calcule la matriz inversa mediante la aplicación del algoritmo
de eliminación de Gauss-Jordán.
Sugerencia: Para determinar la matriz inversa utilizando el algoritmo
de eliminación de Gauss-Jordán, se coloca la matriz original a la
izquierda y la matriz identidad a la derecha. A continuación, se
aplican operaciones elementales entre filas con el objetivo de
transformar la matriz de la izquierda en la matriz identidad.
La matriz resultante a la derecha será la matriz inversa de la
matriz original.
Calcule la matriz inversa utilizando el método de la matriz adjunta
y el determinante.
Sugerencia: Si la matriz 𝑴 es invertible, entonces su inversa 𝑴ି 𝟏 se
puede calcular como el producto del inverso multiplicativo del
determinante de 𝑴 y la matriz adjunta de 𝑴. Es decir,
𝑴ି ଵ = ቆ 1
𝑑𝑒 𝑡(𝑴) ∙ 𝐴𝑑𝑗(𝑴)ቇ.
A. 𝑨 = ൭
𝟏 𝟎 −𝟏
𝟎 𝟏 𝟐
𝟏 −𝟑 𝟓
൱
B. 𝑩 = ൭
𝟏 −𝟐 𝟏
𝟏 𝟑 𝟏
𝟒 𝟐 𝟎
൱.
C. 𝑪 = ൭
𝟏 𝟓 𝟎
𝟔 𝟐 −𝟒
𝟒 −𝟐 𝟏
൱.
D. 𝑫 = ൭
𝟏 𝟐 −𝟐
𝟎 𝟔 𝟐
−𝟒 𝟎 𝟔
൱
E. 𝑬 = ൭
𝟏 𝟎 −𝟐
𝟖 𝟒 −𝟒
−𝟑 𝟏 𝟎
൱.
6
Ejercicio 6: Ejercicio Colaborativo sobre la Equivalencia de Conceptos.
Cada miembro del grupo deberá resolver el ejercicio correspondiente a su literal
de manera individual. Luego, se les solicita realizar su aporte en el foro,
compartiendo los resultados obtenidos. Además, cada integrante debe
responder a la pregunta planteada al final del ejercicio.
Con base en la matriz 𝑨 = ൭−
𝟏 𝟐 −𝟏
𝟔 𝟎 −𝟐
𝟖 𝟒 𝟐
൱ , hallar el valor del determinante
siguiendo las indicaciones proporcionadas. Este ejercicio le brindará una
perspectiva global y comparativa de la definición generalizada del
determinante, así como de la ley de Sarrus aplicada a matrices de orden 3.
A. Calcule el determinante utilizando como base la primera fila y el método
de cofactores.
B. Calcule el determinante utilizando como base la segunda columna y el
método de cofactores.
C. Calcule el determinante utilizando como base la tercera fila y el método de
cofactores.
D. Realice el cálculo del determinante utilizando el método de Sarrus.
E. Compare los resultados obtenidos en los incisos anteriores. ¿Se produce
alguna variación si se cambia la fila o la columna utilizada como base?
Discusión grupal: Considerando los diferentes enfoques utilizados para
calcular el determinante de la matriz, les invitamos a compartir su opinión sobre
cuál método consideraron más eficiente en términos de tiempo y/o facilidad de
cálculo. Por favor, expliquen las razones que respaldan su elección
…
3
Ejercicio 1. Conceptualización de sistemas de ecuaciones lineales en el
plano.
Dibuje una gráfica en GeoGebra que corresponda al sistema de ecuaciones
lineales dado y determine geométricamente si cada sistema tiene una solución
única, un número infinito de soluciones o ninguna solución. Luego, resuelva
cada sistema algebraicamente para confirmar su respuesta.
A. ൜ 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = −𝟏
−𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟐
B. ൜ 𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟐
−𝒙 − 𝟒𝒚 = −𝟑
C. ൜ 𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 = −𝟏
−𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟓
D. ൜ 𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟎
−𝒙 − 𝟕𝒚 = 𝟑
E. ൜ 𝒙 + 𝒚 = −𝟏
−𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟐
Ejercicio 2. Solución de sistemas de ecuaciones lineales 3×3.
Resuelva el sistema de ecuaciones lineales seleccionado (literal A, B, C, D o E)
utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordán. Asegúrese de validar el
resultado utilizando herramientas computacionales como GeoGebra, Symbolab
u otras. Incluya la comprobación del resultado y explique detalladamente el
procedimiento de eliminación paso a paso.
A. 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟐
𝟔𝒙 + 𝟗𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟎
𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟐
B. 𝟐𝒙 − 𝟔 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏𝟎
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟔
−𝟐𝒙 + 𝟑 𝒚 + 𝟎𝒛 = −𝟑
C. 𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏𝟎
𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟒𝒛 = −𝟑
𝟓𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = 𝟒
D. 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟔𝒛 = −𝟐
𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟐 𝒛 = 𝟖
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟑
E. 𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟑
𝟐𝒙 + 𝟔 𝒚 + 𝟖𝒛 = 𝟓
𝟖𝒙 + 𝟏𝟖𝒚 − 𝟖𝒛 = 𝟖
Ejercicio 3. Aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales en la
resolución de problemas básicos.
Enuncie el sistema de ecuaciones lineales que describe la problemática y
resuelva utilizando el método de reducción de Gauss-Jordán. Se recomienda
emplear GeoGebra u otra herramienta como la calculadora de matrices para
resolver el sistema de ecuaciones lineales.
A. Andrés fue al supermercado y pagó $1575 por 24 litros de leche, 6
kilogramos de jamón serrano y 12 litros de aceite de aguacate. Calcula
el precio de cada artículo si el litro de aceite de aguacate cuesta el triple
que el litro de leche, un kilo de jamón serrano cuesta igual que un litro
de aceite de aguacate y dos litros de leche.
B. Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las
3 conservas es de 0.90 €. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y
10 de C, debiendo abonar 56 €. Otro cliente compra 20 unidades de A y 25
de C y abona 31 €. Calcular el precio por unidad de los productos A, B y C.
C. En una heladería, por un helado, dos zumos y 4 batidos nos cobraron
35 euros. Otro día, por 4 helados, 4 zumos y un batido nos cobraron 34
euros. Un tercer día por 2 helados, 3 zumos y 4 batidos 42 euros. ¿cuál es
el precio de cada uno?
D. Una persona invirtió un total de $20,000 en tres inversiones al 6, 8 y
10%. El ingreso anual total fue de $1624 y el ingreso de la inversión del
10% fue dos veces el ingreso de la inversión al 6%. ¿De cuánto fue cada
inversión?
E. Se juntan 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre
los hombres y las mujeres duplican al número de niños. También se sabe
que entre los hombres y el triple de las mujeres exceden en 20 al doble de
niños. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones lineales que permita
averiguar el número de hombres, mujeres y niños.
Ejercicio 4. Los diferentes tipos de ecuaciones de la recta en 𝐑𝟑.
Según su literal seleccionado,
Halle la ecuación vectorial de la recta en 𝐑𝟑.
Halle las ecuaciones paramétricas de la recta 𝐑𝟑.
Halle las ecuaciones simétricas de la recta 𝐑𝟑.
Para realizar la comprobación computacional, puede utilizar la herramienta
GeoGebra u otra calculadora vectorial. El objetivo de esta comprobación es
verificar que las ecuaciones vectorial, paramétrica y simétrica correspondan a
la misma recta en 𝐑𝟑.
A. De la recta que pasa por los puntos 𝑷(𝟐, 𝟒, − 𝟑) 𝑦 𝑸(𝟏, 𝟏, −𝟐).
B. De la recta que pasa por los puntos 𝑷(𝟓, 𝟏, 𝟐) 𝑦 𝑸(−𝟏, 𝟐, −𝟒).
C. De la recta que pasa por los puntos 𝑷(𝟑, 𝟖, 𝟕) 𝑦 𝑸(𝟏, 𝟖, −𝟐).
D. De la recta que pasa por los puntos 𝑷(𝟗, −𝟒, 𝟑) 𝑦 𝑸(𝟎, 𝟐, −𝟑).
E. De la recta que pasa por los puntos 𝑷(𝟔, 𝟏𝟎, − 𝟑) 𝑦 𝑸(𝟏, 𝟏, −𝟐).
Ejercicio 5: La ecuación normal del plano.
Resuelva el siguiente problema relacionado con planos en el espacio utilizando
los conceptos teóricos correspondientes y grafique la solución utilizando la
herramienta GeoGebra.
A. Determine la ecuación normal del plano que contiene los puntos:
𝑷(𝟓, 𝟐, −𝟓), 𝑸(𝟑, 𝟓, −𝟐) 𝑦 𝑹(𝟏, 𝟐, 𝟓).
B. Determine la ecuación normal del plano que contiene los puntos
𝑷(𝟑, 𝟏, 𝟓), 𝑸(−𝟕, 𝟓, 𝟑) 𝑦 𝑹(−𝟐, 𝟔, 𝟑).
C. Determine la ecuación normal del plano que contiene los puntos
𝑷(𝟒, 𝟐, 𝟕), 𝑸(𝟖, 𝟓, −𝟔) 𝑦 𝑹(−𝟕, 𝟕, 𝟗).
D. Determine la ecuación normal del plano que contiene los puntos
𝑷(𝟔, 𝟑, 𝟏𝟏), 𝑸(𝟕, 𝟓, −𝟐) 𝑦 𝑹(−𝟔, 𝟐, 𝟒).
E. Determine la ecuación normal del plano que contiene los puntos
𝑷(−𝟖, 𝟗, 𝟏𝟐), 𝑸(𝟏, 𝟓, −𝟏𝟐) 𝑦 𝑹(−𝟏𝟎, 𝟑, 𝟓).
Ejercicio 6: Ejercicio Colaborativo de Equivalencia de Conceptos.
Cada miembro del grupo deberá resolver el ejercicio correspondiente a su
literal de manera individual. Luego, se les solicita realizar su aporte en
el foro, compartiendo los resultados obtenidos. Además, cada integrante debe
responder a la pregunta planteada al final del ejercicio.
Considere el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:
𝟐𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟔
𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 = 𝟒
𝟖𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔𝒙𝟑 = 𝟐
A. Escriba el sistema de ecuaciones lineales en la forma 𝑨𝒙ሬሬ⃗ = 𝒃ሬሬ⃗ , donde 𝑨 es la
matriz de coeficientes, 𝒙ሬሬ⃗ = (𝑥ଵ, 𝑥ଶ, 𝑥ଷ)் y 𝒃ሬሬ⃗ = (𝟔, 𝟒, 𝟐)𝑻. Asegúrese de comprobar
que el resultado de la multiplicación de la matriz 𝑨 por el vector 𝒙ሬሬ⃗ sea igual al
vector 𝒃ሬሬ⃗ .
B. Verifique que el sistema cuya matriz aumentada es [𝑨|𝒃] sea consistente
con solución única utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordán.
C. Compruebe la existencia de un vector 𝒙ሬሬ⃗ de 𝑹𝟑, tal que 𝑨𝒙ሬሬ⃗ = 𝒃ሬሬ⃗ utilizando el
método de eliminación de Gauss y sustitución hacia atrás.
D. Calcule la inversa de la matriz 𝑨 utilizando la calculadora de matrices y
luego y verifique que 𝒙ሬሬ⃗ = 𝑨ି 𝟏 ∙ 𝒃ሬሬ⃗ .
E. Utilizando GeoGebra, verifique que el vector 𝒙ሬሬ⃗ representa el único punto
de intersección de los tres planos determinados por el sistema de ecuaciones
lineales.
Ejercicio colaborativo: Invitamos a todos los participantes a discutir con sus
compañeros las similitudes que encuentren en las respuestas obtenidas para el
ejercicio. Analicen los resultados, compartan sus observaciones y conclusiones.
¿Existen patrones o tendencias comunes en las soluciones encontradas por los
compañeros?
…
ÁLGEBRA LINEAL
Unidad 1 – Vectores, matrices y determinantes.
Unidad 2 – Sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos.
Unidad 3 – Espacios vectoriales.
Tarea 1 – Reconocimiento de saberes
*Actividad: Presentar evaluación de conocimientos previos.
*Entorno del aula donde se realiza: Entorno de evaluación.
*Producto a entregar: Resolver un cuestionario sobre los conocimientos previos del curso.
Tarea 2 – Vectores, matrices y determinantes
*Actividad: Aplicar los conceptos matemáticos de vectores, matrices y determinantes para solucionar problemas de la unidad 1.
*Entorno del aula donde se realiza: Entornos de aprendizaje y evaluación.
*Producto a entregar: Documento en formato PDF que contenga el desarrollo de los ejercicios consolidados.
Tarea 3 – Sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos
*Actividad: Aplicar los conceptos matemáticos de sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos para solucionar problemas de la unidad 2.
*Entorno del aula donde se realiza: Entornos de aprendizaje y evaluación.
Tarea 4 – Espacios vectoriales
*Producto a entregar: Documento en formato PDF que contenga el desarrollo de los ejercicios consolidados.
*Actividad : Aplicar los axiomas, operaciones y propiedades de espacios vectoriales en la resolución de ejercicios de la unidad 3.
Tarea 5 – Prueba Objetiva Cerrada (POC) – Evaluación Final
*Entorno del aula donde se realiza: Entornos de aprendizaje y evaluación.
*Producto a entregar: Documento en formato PDF que contenga el desarrollo de los ejercicios consolidados.
*Actividad: Resolver cuestionario (Prueba objetiva cerrada) de 25 preguntas relacionadas a las unidades 1,2 y 3.
*Entorno del aula donde se realiza: Entorno de evaluación.
*Resultado: Aplicar los conceptos matemáticos de vectores, matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, rectas, planos, axiomas, operaciones y propiedades relacionadas con espacios vectoriales, en la resolución de problemas y ejercicio básicos.
Tarea 1 ÁLGEBRA LINEAL UNAD
Tarea 2 ÁLGEBRA LINEAL UNAD
Tarea 3 ÁLGEBRA LINEAL UNAD
Tarea 4 ÁLGEBRA LINEAL UNAD
Tarea 5 ÁLGEBRA LINEAL UNAD
…
…
3
Ejercicio 1. Conceptualización de sistemas de ecuaciones lineales en el
plano.
Dibuje una gráfica en GeoGebra que corresponda al sistema de ecuaciones
lineales dado y determine geométricamente si cada sistema tiene una solución
única, un número infinito de soluciones o ninguna solución. Luego, resuelva
cada sistema algebraicamente para confirmar su respuesta.
A. ൜ 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = −𝟏
−𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟐
B. ൜ 𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟐
−𝒙 − 𝟒𝒚 = −𝟑
C. ൜ 𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 = −𝟏
−𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟓
D. ൜ 𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟎
−𝒙 − 𝟕𝒚 = 𝟑
E. ൜ 𝒙 + 𝒚 = −𝟏
−𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟐
Ejercicio 2. Solución de sistemas de ecuaciones lineales 3×3.
Resuelva el sistema de ecuaciones lineales seleccionado (literal A, B, C, D o E)
utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordán. Asegúrese de validar el
resultado utilizando herramientas computacionales como GeoGebra, Symbolab
u otras. Incluya la comprobación del resultado y explique detalladamente el
procedimiento de eliminación paso a paso.
A. 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟐
𝟔𝒙 + 𝟗𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟎
𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟐
B. 𝟐𝒙 − 𝟔 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏𝟎
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟔
−𝟐𝒙 + 𝟑 𝒚 + 𝟎𝒛 = −𝟑
C. 𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏𝟎
𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟒𝒛 = −𝟑
𝟓𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = 𝟒
D. 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟔𝒛 = −𝟐
𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟐 𝒛 = 𝟖
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟑
E. 𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟑
𝟐𝒙 + 𝟔 𝒚 + 𝟖𝒛 = 𝟓
𝟖𝒙 + 𝟏𝟖𝒚 − 𝟖𝒛 = 𝟖
Ejercicio 3. Aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales en la
resolución de problemas básicos.
Enuncie el sistema de ecuaciones lineales que describe la problemática y
resuelva utilizando el método de reducción de Gauss-Jordán. Se recomienda
emplear GeoGebra u otra herramienta como la calculadora de matrices para
resolver el sistema de ecuaciones lineales.
A. Andrés fue al supermercado y pagó $1575 por 24 litros de leche, 6
kilogramos de jamón serrano y 12 litros de aceite de aguacate. Calcula
el precio de cada artículo si el litro de aceite de aguacate cuesta el triple
que el litro de leche, un kilo de jamón serrano cuesta igual que un litro
de aceite de aguacate y dos litros de leche.
B. Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las
3 conservas es de 0.90 €. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y
10 de C, debiendo abonar 56 €. Otro cliente compra 20 unidades de A y 25
de C y abona 31 €. Calcular el precio por unidad de los productos A, B y C.
C. En una heladería, por un helado, dos zumos y 4 batidos nos cobraron
35 euros. Otro día, por 4 helados, 4 zumos y un batido nos cobraron 34
euros. Un tercer día por 2 helados, 3 zumos y 4 batidos 42 euros. ¿cuál es
el precio de cada uno?
D. Una persona invirtió un total de $20,000 en tres inversiones al 6, 8 y
10%. El ingreso anual total fue de $1624 y el ingreso de la inversión del
10% fue dos veces el ingreso de la inversión al 6%. ¿De cuánto fue cada
inversión?
E. Se juntan 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre
los hombres y las mujeres duplican al número de niños. También se sabe
que entre los hombres y el triple de las mujeres exceden en 20 al doble de
niños. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones lineales que permita
averiguar el número de hombres, mujeres y niños.
Ejercicio 4. Los diferentes tipos de ecuaciones de la recta en 𝐑𝟑.
Según su literal seleccionado,
Halle la ecuación vectorial de la recta en 𝐑𝟑.
Halle las ecuaciones paramétricas de la recta 𝐑𝟑.
Halle las ecuaciones simétricas de la recta 𝐑𝟑.
Para realizar la comprobación computacional, puede utilizar la herramienta
GeoGebra u otra calculadora vectorial. El objetivo de esta comprobación es
verificar que las ecuaciones vectorial, paramétrica y simétrica correspondan a
la misma recta en 𝐑𝟑.
A. De la recta que pasa por los puntos 𝑷(𝟐, 𝟒, − 𝟑) 𝑦 𝑸(𝟏, 𝟏, −𝟐).
B. De la recta que pasa por los puntos 𝑷(𝟓, 𝟏, 𝟐) 𝑦 𝑸(−𝟏, 𝟐, −𝟒).
C. De la recta que pasa por los puntos 𝑷(𝟑, 𝟖, 𝟕) 𝑦 𝑸(𝟏, 𝟖, −𝟐).
D. De la recta que pasa por los puntos 𝑷(𝟗, −𝟒, 𝟑) 𝑦 𝑸(𝟎, 𝟐, −𝟑).
E. De la recta que pasa por los puntos 𝑷(𝟔, 𝟏𝟎, − 𝟑) 𝑦 𝑸(𝟏, 𝟏, −𝟐).
Ejercicio 5: La ecuación normal del plano.
Resuelva el siguiente problema relacionado con planos en el espacio utilizando
los conceptos teóricos correspondientes y grafique la solución utilizando la
herramienta GeoGebra.
A. Determine la ecuación normal del plano que contiene los puntos:
𝑷(𝟓, 𝟐, −𝟓), 𝑸(𝟑, 𝟓, −𝟐) 𝑦 𝑹(𝟏, 𝟐, 𝟓).
B. Determine la ecuación normal del plano que contiene los puntos
𝑷(𝟑, 𝟏, 𝟓), 𝑸(−𝟕, 𝟓, 𝟑) 𝑦 𝑹(−𝟐, 𝟔, 𝟑).
C. Determine la ecuación normal del plano que contiene los puntos
𝑷(𝟒, 𝟐, 𝟕), 𝑸(𝟖, 𝟓, −𝟔) 𝑦 𝑹(−𝟕, 𝟕, 𝟗).
D. Determine la ecuación normal del plano que contiene los puntos
𝑷(𝟔, 𝟑, 𝟏𝟏), 𝑸(𝟕, 𝟓, −𝟐) 𝑦 𝑹(−𝟔, 𝟐, 𝟒).
E. Determine la ecuación normal del plano que contiene los puntos
𝑷(−𝟖, 𝟗, 𝟏𝟐), 𝑸(𝟏, 𝟓, −𝟏𝟐) 𝑦 𝑹(−𝟏𝟎, 𝟑, 𝟓).
Ejercicio 6: Ejercicio Colaborativo de Equivalencia de Conceptos.
Cada miembro del grupo deberá resolver el ejercicio correspondiente a su
literal de manera individual. Luego, se les solicita realizar su aporte en
el foro, compartiendo los resultados obtenidos. Además, cada integrante debe
responder a la pregunta planteada al final del ejercicio.
Considere el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:
𝟐𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟔
𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 = 𝟒
𝟖𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔𝒙𝟑 = 𝟐
A. Escriba el sistema de ecuaciones lineales en la forma 𝑨𝒙ሬሬ⃗ = 𝒃ሬሬ⃗ , donde 𝑨 es la
matriz de coeficientes, 𝒙ሬሬ⃗ = (𝑥ଵ, 𝑥ଶ, 𝑥ଷ)் y 𝒃ሬሬ⃗ = (𝟔, 𝟒, 𝟐)𝑻. Asegúrese de comprobar
que el resultado de la multiplicación de la matriz 𝑨 por el vector 𝒙ሬሬ⃗ sea igual al
vector 𝒃ሬሬ⃗ .
B. Verifique que el sistema cuya matriz aumentada es [𝑨|𝒃] sea consistente
con solución única utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordán.
C. Compruebe la existencia de un vector 𝒙ሬሬ⃗ de 𝑹𝟑, tal que 𝑨𝒙ሬሬ⃗ = 𝒃ሬሬ⃗ utilizando el
método de eliminación de Gauss y sustitución hacia atrás.
D. Calcule la inversa de la matriz 𝑨 utilizando la calculadora de matrices y
luego y verifique que 𝒙ሬሬ⃗ = 𝑨ି 𝟏 ∙ 𝒃ሬሬ⃗ .
E. Utilizando GeoGebra, verifique que el vector 𝒙ሬሬ⃗ representa el único punto
de intersección de los tres planos determinados por el sistema de ecuaciones
lineales.
Ejercicio colaborativo: Invitamos a todos los participantes a discutir con sus
compañeros las similitudes que encuentren en las respuestas obtenidas para el
ejercicio. Analicen los resultados, compartan sus observaciones y conclusiones.
¿Existen patrones o tendencias comunes en las soluciones encontradas por los
compañeros?
algebra integral
algeb ra
algebra lineal
ecuaciones lineales
sistema de ecuaciones
lineal algebra
sistema de ecuaciones lineales
ecuaciones lineales que son
determinantes de una matriz
ejercicios de sistema de ecuaciones
matrices calcular
calcular sistema de ecuaciones
calcular matrices
ejercicios de algebra
resolver ecuaciones lineales
algebra pdf
problemas de algebra
algebra lineal ejercicios
ejercicios álgebra lineal
resolver sistema de ecuaciones
libro de algebra lineal
libro álgebra lineal
algebra lineal que es
álgebra lineal pdf
pdf algebra lineal
algebra desde cero
álgebra ejercicios
algebra lineal matrices
matriz algebra lineal
espacios vectoriales
combinación lineal
algebra base
matrices y sistemas de ecuaciones
algebra determinantes
ejercicios resueltos de matrices pdf
ejercicio de matrices
sistema lineales
ejercicios resueltos de matrices
linealmente independiente
ejercicios con matrices
matrices y determinantes
sistemas lineal
álgebra vectorial
vectores linealmente independiente
metodo determinante
metodos de gauss jordan
ejercicio de matrices resueltos pdf
tarea algebra
matriz vector
ecuaciones lineal ejercicios
ejercicios de ecuaciones lineales
ejercicios resueltos ecuaciones lineales
ecuaciones con matrices
ejemplos ecuaciones lineales
resolviendo ecuaciones lineales
matrices determinantes
resolviendo matrices
matriz columna
ejemplo sistema de ecuaciones lineales
matrices columnas y filas
rango de una matriz
determinantes matrices
problemario de algebra
ejercicios de algebra resueltos
ejercicios resueltos algebra
ejercicio de sistemas de ecuaciones lineales
vector matriz
ejercicios de sistema de ecuaciones lineales resueltos
algebra tareas
ecuaciones sistema
sistemas matemáticas
ecuaciones no lineales
calculadora dematrices
metodos de sistemas de ecuaciones
metodo de ecuaciones
calculadora d ematrices
libros de algebra
conjunto solucion
sistemas no lineales
ejercicio resuelto de sistema de ecuaciones
producto de matrices
sistemas de ecuaciones ejemplos
ecuaciones literales
calcular determinantes de matrices
rectas y planos
numeros algebra
ejemplos algebra
libros de algebra pdf
libros de álgebra pdf
resolver sistemas
4 x 3 x 7
calcular determinantes
sistema no lineal de ecuaciones
problemas sistema de ecuaciones
suma matrices
álgebra ecuaciones
álgebra qué es
problemas con ecuación lineal
clases de algebra
curso de algebra lineal
curso de algebra
curso algebra lineal
ejercicios de álgebra lineal
problemario de algebra lineal
algebra lineal 1
álgebra lineal ejercicios resueltos
algebra lineal ejemplo
algebra lineal ejercicios resueltos pdf
álgebra lineal ejercicios resueltos pdf
álgebra lineal pdf ejercicios resueltos
matematicas lineal
libro algebra lineal pdf
libros de álgebra lineal pdf
algebra lineal con aplicaciones
algebra l
para que sirve el algebra lineal
examen de algebra lineal
algebra lineal desde cero
álgebra lineal desde cero
examenes algebra lineal
algebra lineal vectores
aplicaciones algebra
vector en algebra lineal
vector algebra lineal
álgebra vectorial ejercicios resueltos
algebra lineal espacios vectoriales
álgebra 1
algebra no lineal
álgebra ecuaciones lineales
fundamentos de algebra lineal
matrices pdf libro
espacios vectoriales ejercicios
curso de algebra desde cero
libros de matrices
ejercicio de espacio vectorial
espacio vectoriales ejercicios resueltos
matrices libro
libro matrices
ejercicios resueltos de espacios vectoriales
combinación lineal matrices
mejores libros de algebra lineal
aplicaciones lineales ejercicios resueltos
aplicaciones lineales algebra
álgebra para todos
matrices en algebra lineal
sistema de ecuaciones lineales con matrices
espacios vectoriales pdf
ejercicios espacios vectoriales
algebra lineal y geometría
libros de matrices y determinantes pdf
ecuaciones lineales y matrices
base algebra lineal
espacio lineal
álgebra de matrices
sistema de ecuaciones lineales definición
matriz con infinitas soluciones
aplicaciones lineales
determinantes en algebra lineal
algebra y matrices
ejercicios de espacios vectoriales
clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales
forma lineal
matrices linealmente independientes
matrices algebra
matriz algebra
vectores lineales
sistema de ecuaciones lineales que es
examen de matrices
matriz pdf
sistema de ecuaciones por matrices
sistemas de matrices
metodos para resolver determinantes
ejercicios de combinación lineal
álgebra matrices
soluciones de matrices
problemas de matrices resueltos
curso algebra
matrices problemas
álgebra vectorial pdf
matriz ejercicios resueltos
sistemas de ecuaciones lineales pdf
problemas resueltos con matrices
matrices en algebra
determinantes ejercicios resueltos
ecuaciones lineales soluciones
matrices y determinantes pdf
algebra vectorial pdf
trabajo de algebra
aplicacion matrices
conjunto linealmente independiente
sistemas de ecuaciones lineales ejercicios resueltos universidad
ejercicios resueltos de determinantes
matrices y determinantes ejercicios resueltos
aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales
problemas de matrices resueltos pdf
ejercicios de matrices y determinantes
vector lineal
problemas de matrices
aplicacion de sistema de ecuaciones lineales
soluciones de un sistema de ecuaciones lineales
matrices ejercicios resueltos pdf
metodos para resolver matrices
algebra matriz
linealmente independiente y dependiente
sistema de ecuaciones lineales homogéneo
aplicación de álgebra
vectores algebra
ecuaciones lineales definición
de ecuaciones lineales
soluciones de sistema de ecuaciones lineales
determinante sistema de ecuaciones
ecuación de matrices
ecuaciones lineales que es
formula ecuaciones lineales
matematicas ecuaciones lineales
ejercicio de gauss jordan
sistema con infinitas soluciones
ejercicios matrices y determinantes
las ecuaciones lineales
clasificación de los sistemas de ecuaciones
sistemas de ecuaciones con infinitas soluciones
ecuaciones lineales para resolver
soluciones sistema de ecuaciones
sistema ecuacion lineal
gauss jordan sistema de ecuaciones
sistema de ecuaciones por determinantes
sistema de ecuaciones lineales gauss jordan
metodos por determinantes
geogebra algebra
ejercicios resueltos de matrices y determinantes pdf
algebra de vectores
sistemas con infinitas soluciones
soluciones de un sistema de ecuaciones
espacio vectores
mapa lineal
infinitas soluciones
ecuaciones determinantes
sistemas de ecuaciones infinitas soluciones
10 ecuaciones lineales
ejercicio gauss jordan
sistemas de ecuaciones por gauss jordan
solucion sistema de ecuaciones lineales
aplicación de las ecuaciones lineales
examen de ecuaciones lineales
vector columna
ejercicios de matrices pdf
sistema de ecuaciones infinitas soluciones
soluciones infinitas
5 ecuaciones lineales
10 ejercicios de ecuaciones lineales
ejercicios resueltos de determinantes pdf
metodo de gauss jordan sistema de ecuaciones
sistemas de ecuaciones gauss jordan
calcular ecuacion lineal
aplicaciones ecuaciones lineales
ecuaciones por determinantes
calcular ecuaciones lineales
ecuacion lineal resuelta
matriz b
ecuaciones lineales resolver
problemas resueltos algebra
aplicacion ecuaciones lineales
ejercicios resueltos de algebra pdf
sistema de ecuaciones definición
ecuaciones lineales y no lineales
metodo de gauss sistema de ecuaciones
ecuaciones lineales ejercicios para resolver
tarea de álgebra
conjunto de ecuaciones
ejemplos resueltos de algebra
ejercicios resueltos de ecuaciones lineales
problemas resueltos de álgebra
ejercicios gauss
sistemas de ecuaciones por gauss
gauss ejercicios resueltos
álgebra ejercicios resueltos pdf
solución del sistema de ecuaciones
algebra y geometría
sistemas de ecuaciones gauss
método de gauss ejercicios resueltos
matriz solucion
algebra sistema de ecuaciones
metodo de ecuaciones lineales
problemas de algebra para resolver
método gauss ejercicios
resolver el sistema de ecuaciones lineales
gauss sistema de ecuaciones
algebra curso
ecuaciones lineales paso a paso
ecuaciones con infinitas soluciones
solucion matriz
ejercicios algebra 1
sistema de ecuaciones lineales y no lineales
metodos de solucion de ecuaciones lineales
e algebra
determinar matrices
vector fila
ecuaciones lineales pdf
apuntes de algebra
algebra vectorial y su geometria
talleres de algebra
sistema de ecuaciones lineales métodos
ejercicios de algebra con soluciones
matrix matriz
ecuaciones sistema de ecuaciones
sistema de ecuaciones lineales ejercicios resueltos pdf
metodos para resolver ecuaciones lineales
ejercicios dificiles de algebra
pagina para resolver ecuaciones lineales
sistema de ecuaciones con 2 variables
ejercicios de algebra para resolver
método de solución de ecuaciones lineales
ecuaciones lineales para principiantes
problemas lineales
problemas de aplicacion de ecuaciones lineales
ecuaciones lineales ejercicios resueltos pdf
reducir matriz
ejercicios de álgebra para resolver
sistema de ecuaciones de 3
ecuaciones lineales metodos
ejercicios matematicos algebra
examen de algebra
hacer matrices
álgebra pdf ejercicios
ecuaciones lineales pdf ejercicios resueltos
practica de algebra
ejercicios de matemáticas álgebra
ejercicios de algebra con respuestas
ecuaciones y sistema de ecuaciones
ejercicios de algebra pdf
algebra ejercicios para resolver
sistemas de ecuaciones 3 x 3
sistema de ecuaciones que es
ecuaciones 3 x 3
guia de algebra
problemas álgebra
guia de ecuaciones lineales
ejercicios de álgebra resueltos pdf
algebra desde 0
ejercicios de álgebra para resolver pdf
metodos para sistemas de ecuaciones
apps para resolver ecuaciones lineales
examen algebra
ejercicios básicos de algebra
ejercicios de matematica algebra
álgebra desde cero pdf
álgebra paso a paso
resumen algebra
problemas para resolver de algebra
sistema de ecuaciones ejercicios resueltos paso a paso
sistema de ecuaciones resuelto
sistema de ecuaciones pdf
sistema lineal y no lineal
suma de ecuaciones lineales
sistema de ecuaciones para resolver
sistemas de ecuaciones lineales resueltos
álgebra libros
problemas de ecuaciones lineales resueltos pdf
matriz 3 x 3
columna vector
algebra libros
ejercicios de ecuaciones lineales pdf
sistema de ecuaciones lineales con dos variables ejercicios resueltos
ejercicios de sistema de ecuaciones pdf
resolver sistemas de 3 ecuaciones
sistema de ecuaciones lineales resueltos
2 ecuaciones
examen de sistema de ecuaciones
resolver sistema de ecuaciones no lineales
álgebra en pdf
mapa conceptual de matrices
algebra en español
w algebra
problemas de matematicas algebra
metodos sistema de ecuaciones
problemas algebra
matriz 1
algebra en pdf
3 ecuaciones
ecuaciones de universidad
solucion de problemas de ecuaciones lineales
ejercicios de sistemas
proyectos de algebra
ejercicios de sistemas de ecuaciones con soluciones
algebra problemas
calcular matriz determinante
método para resolver sistemas de ecuaciones lineales
sistemas de ecuaciones no lineales ejercicios
paginas para resolver matrices
ecuaciones lineales ejercicios pdf
sistema de ecuaciones 2 por 2
ejercicios resueltos de suma de matrices
sistema de 2 ecuaciones
resolver sistema ecuaciones
conjunto de solución
álgebra libro pdf
examen de ecuaciones
fundamentos del álgebra
sistemas de ecuaciones ejercicios resueltos pdf
resumen de álgebra
sistema de ecuaciones lineales problemas
geometria con algebra
metodo de sustitución de ecuaciones lineales
ecuaciones no lineales ejercicios resueltos
problemas matematicos algebra
algebra respuestas
problemas resueltos de sistemas de ecuaciones lineales
metodo de solucion de ecuaciones
problemas resueltos de sistemas de ecuaciones
fundamento de algebra
algebra libros pdf
hacer matriz
preguntas de álgebra
ecuaciones 2 x 2
libro de álgebra 1 pdf
sistemas de ecuaciones resueltos pdf
matriz 3
sistemas de ecuaciones no lineales ejercicios resueltos pdf
sistema de ecuaciones 2 x 2
sistemas de ecuaciones ejercicios pdf
álgebra para principiantes pdf
actividades ecuaciones
sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas
tutorial de algebra
libros de ecuaciones pdf
problema de algebra resueltos
solución de ecuaciones ejemplos
tutorial algebra
problemas con sistemas de ecuaciones resueltos
ejercicio x
algebra simbolica
ecuaciones de 2 x 2
algebra lineal unad
tarea 2 algebra lineal unad
tarea 4 algebra lineal unad
guia de algebra lineal
ejercicios de algebra lineal resueltos
problemas algebra lineal
el algebra lineal
ejercicios de algebra lineal pdf
problemas algebra lineal resueltos
algebra lineal i
trabajos de algebra lineal
problemas de algebra lineal resueltos
ejercicios algebra lineal universidad
algebra lineal resumen
algebra lineal universidad
algebra lineal problemas
ejercicios de algebra lineal resueltos pdf
álgebra lineal universidad
libro de algebra lineal con ejercicios resueltos
clases de algebra lineal
algebra y algebra lineal
álgebra lineal ejercicios resueltos paso a paso
algebra lineal paso a paso
todo sobre algebra lineal
ejercicios resueltos algebra lineal universidad
cuestionario de algebra lineal con respuestas
matematicas algebra lineal
problemas resueltos de álgebra lineal pdf
libros pdf algebra lineal
algebra lineal 1 pdf
álgebra lineal vectores pdf
libro problemas resueltos de algebra lineal pdf
libros de algebra lineal gratis
algebra lineal para principiantes
proyecto de algebra lineal
ejercicios resueltos de álgebra lineal matrices pdf
proyectos de algebra lineal para universidad
álgebra lineal ejercicios de práctica pdf
algebra vectorial ejercicios resueltos pdf
libros gratis de algebra lineal
problemas de aplicacion algebra lineal
test de algebra lineal
resumen de algebra lineal
algebra lineal para que sirve
conceptos de algebra lineal
libros de ecuaciones lineales pdf
unidad 3 algebra lineal
apuntes de algebra lineal
examen de algebra lineal resuelto
examen final algebra lineal
ecuaciones lineales libro
para que sirve algebra lineal
libros de ecuaciones lineales
actividad 1 algebra lineal
algebra lineal 2
aplicaciones de álgebra lineal
libros sobre algebra lineal
clases de algebra gratis
libros de algebra lineal matrices
fundamentos de algebra lineal pdf
matrices y vectores algebra lineal
apuntes algebra lineal
vectores y matrices algebra lineal
algebra lineal ii
algebra lineal examen
apuntes algebra lineal pdf
fundamentos del algebra lineal pdf
proyecto algebra lineal