Cálculo Multivariado

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Solución paso a paso de los ejercicios de Cálculo Multivariado

Cálculo Multivariado
Guía de actividades y rúbrica de evaluación –
Tarea 1 Funciones de varias variables y diferenciación

Grupos de Ejercicios
Grupo de ejercicios 1 – Curvas en el espacio:
En este primer grupo de ejercicios habrá, en cada numeral, 2 gráficas de curvas paramétricas. En las celdas de debajo de cada gráfica hay una
parametrización para el eje 𝒙, y otra para el eje 𝒚, la cual no necesariamente corresponde a una de las componentes de la curva paramétrica inmediatamente arriba.
Debe explicar a cuál de las dos curvas le corresponde la parametrización del eje 𝒙, y a cuál le corresponde al eje 𝒚.
Posteriormente debe indicar si hay puntos dobles, y especificar la coordenada cartesiana aproximada. También debe citar las coordenadas donde la curva no es suave (en caso tal de que se presenten dichos puntos)
coordenadas donde la recta tangente es horizontal, coordenadas donde la recta tangente es vertical.
Por último, tome la curva que es generada por las ecuaciones que se citan en su numeral escogido, y grafique la curva resultante
a)
1 Curva cerrada en el plano, recorre los cuatro cuadrantes del plano cartesiano
2 Curva en el plano con un lazo, recorre los dos primeros cuadrantes del plano cartesiano
𝑥 = 3 cos 𝑡 − cos 3𝑡 𝑦 = 1 − cos 𝑡
b)
3 Curva cerrada en el plano con forma de infinito, recorre los cuatro cuadrantes del plano cartesiano
4 Curva en el plano, recorre los cuatro cuadrantes del plano cartesiano
𝑦 = 𝑡 sin 𝑡 𝑥 = cos 𝑡 𝑠ⅇ𝑛2𝑡 + 1
c)
5 Curva en el plano, , recorre el primer cuadrante del plano cartesiano
6 Curva cerrada en el plano con forma de flecha apuntando a la derecha, , recorre los cuatro cuadrantes del plano cartesiano
𝑥 = 𝑡 − sin 𝑡 𝑦 = 2 sin 𝑡 − sin 2𝑡
d)
7 Curva cerrada en el plano que se inteseca a ella misma en tres puntos, recorre los cuatro cuadrantes del
plano cartesiano
8 Curva cerrada en plano, recorre los cuatro cuadrantes del plano cartesiano con forma de un cardioide
𝑦 = sin 𝑡 𝑥 = 2 cos 𝑡 − cos 2
e)
9 Curva en el plano con forma de espiral, recorre los cuatro cuadrantes del plano cartesiano
10 Curva cerrada en el plano con forma de rombo, recorre los cuatro cuadrantes del plano cartesiano
𝑦 = 4𝑆ⅇ𝑛3𝑡 𝑥 = 𝑡 cos 𝑡
Grupo de ejercicios 2 – Gráficas de funciones en varias variables:
En este grupo de ejercicios, para cada numeral, habrá una gráfica correspondiente a las intesecciones de una superficie con los planos 𝒙 =
−𝟏, 𝒙 = 𝟎, 𝒙 = 𝟐.
Identifique la ecuación de la superficie calculando las intersecciones con los planos de cada una de las gráficas de las funciones dadas. Explica
detalladamente qué ocurre con cada superficie, si es o no la superficie que cumple con lo mostrado en imagen.
Posteriormente deberá graficar la función correcta con la ayuda de GeoGebra.
a)
11 Tres rectas paralelas en el plano
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 + 𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
b)
12 Una recta horizonal sobre el eje x, dos curvas en el plano con forma de parábola
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 + 𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦
c)
13 Tres curvas en el plano con formas de parábolas con centro sobre el eje y
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 + 𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
4 + 𝑦2
4
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
4 − 𝑦2
4
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦
d)
14 Tres curvas en el plano centradas en el eje y, a la derecha se abren hacia arriba, a la izquierda se abren hacia abajo
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦3 + 𝑥2
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦3 − 𝑥2
4
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦3 − 𝑥3
4
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦3 − 𝑥2
e)
15 Tres curvas en el plano con forma de parábola con centro sobre el eje y
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦6𝑥2
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦6 − 𝑥2
4
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦6 − 𝑥2
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦6 + 𝑥2
Grupo de ejercicios 3 – Límites y continudad:
A partir de la información proporcionada en la tabla, la gráfica y las curvas de nivel de la función, conteste las siguientes preguntas.
Las respuestas deben estar sustentadas por la teoría de límites y continuidad.

  • ¿Existe lim
    (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑓(𝑥, 𝑦)?
  • ¿ 𝑓(𝑥, 𝑦) es continua en (0,0)?
  • ¿Es posible extender el dominio de la función para que sea continua en (0,0)?
    a)
    16 Superficie en el espacio con forma de dos montañas simétricas respecto al origen
    17 Curvas de nivel en el plano simétricas respecto al origen x y f(x,y)
    -1,000 -1,000 0,5
    -0,471 -0,778 0,5
    -0,171 -0,556 0,5
    -0,037 -0,333 0,5
    -0,001 -0,111 0,5
    0,001 0,111 0,5
    0,037 0,333 0,5
    0,171 0,556 0,5
    0,471 0,778 0,5
    1,000 1,000 0,5
    b)
    10
    18 Superficie en el espacio simétrica respecto a una rotación de 180 grados respecto al eje z
    19 Curvas de nivel en el plano con forma de rectas pasando por el origen x y f(x,y)
    1,0 -1,0 375
    0,605 -0,778 0,422
    0,309 -0,556 0,498
    0,111 -0,333 0,604
    0,012 -0,111 0,733
    0,012 0,111 0,865
    0,111 0,333 0,979
    0,309 0,556 1,060
    0,605 0,778 1,107
    1,0 1,0 1,125
    c)
    20 Superficie en el espacio con un hueco en el centro
    21 Curvas de nivel en el plano con forma de circunferencias centradas en el origen x y f(x,y)
    -0,500 -0,500 -0,693
    -0,389 -0,389 -1,196
    -0,278 -0,278 -1,869
    -0,167 -0,167 -2,890
    -0,056 -0,056 -5,088
    0,056 0,056 -5,088
    0,167 0,167 -2,890
    0,278 0,278 -1,869
    0,389 0,389 -1,196
    0,500 0,500 -0,693
    d)
    22 Superficie en el espacio con un relieve en forma de parábola
    23 Curvas de nivel en el plano con forma de parábolas que se abren hacia la izquierda y con centro en eje y x y f(x,y)
    -0,500 -0,500 -4,000
    -0,389 -0,389 -4,208
    -0,278 -0,278 -4,985
    -0,167 -0,167 -7,200
    -0,056 -0,056 -19,059
    0,056 0,056 17,053
    0,167 0,167 5,143
    0,278 0,278 2,817
    0,389 0,389 1,851
    0,500 0,500 1,333
    e)24 Superficie en el espacio con un relive circular
    25 Curvas de nivel en el plano con forma de circunferencias centradas en el origen x y f(x,y)
    -1 -1 16487212707001300
    -0,778 -0,778 228537611429968
    -0,556 -0,556 5053090316563870
    -0,333 -0,333 9001713130052170
    -0,111 -0,111 388084696243607000
    0,111 0,111 388084696243607000
    0,333 0,333 9001713130052200
    0,556 0,556 5053090316563870
    0,778 0,778 22853761142996800
    1 1 16487212707001300
    Grupo de ejercicios 4 – Derivadas direccionales y vector gradiente:
    Escriba un análisis de la interpretación geométrica de la derivada direccional de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) en el punto 𝑄 y en la dirección del vector unitario 𝑢 ⃗⃗⃗ correspondiente al numeral escogido.
    Este análisis debe incuir:
  • Una gráfica donde evidencie la solución del problema planteado. La gráfica debe contener: la superficie, el punto 𝑄, la curva sobre la
    superficie que pasa por el punto 𝑄 y debe estar en la dirección del vector unitario.
  • Un ejemplo de una aplicación a la ingeniería de este mismo ejercicio
  • La ecuación del plano tangente a la misma superficie en el mismo punto
    𝑄 y la gráfica de dicho plano.
    a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦2, 𝑄 = (1,1) el vector unitario tiene la dirección 2𝑖 ⃗ + 𝑗⃗⃗.
    b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑐𝑜𝑠2(𝑦), 𝑄 = (2, 𝜋/4) el vector unitario tiene la dirección 5𝑖 ⃗ + 𝑗⃗⃗.
    c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2ⅇ−2𝑦, 𝑄 = (2,0) el vector unitario tiene la dirección -3𝑖 ⃗ + 𝑗⃗⃗.
    d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 500 √𝑥2+𝑦2, 𝑄 = (1,1) el vector unitario tiene la dirección 𝑖 ⃗ + 𝑗⃗⃗.
    e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1
    √𝑥2 − 𝑦2, 𝑄 = (2,1) el vector unitario tiene la dirección 2𝑖 ⃗ + 𝑗

Cálculo Multivariado
Tarea 2 Optimización e Integración
La actividad consiste en: 4 pasos descritos a continuación.
Paso 1 – Elección de ejercicios y su publicación en el foro.
La Tarea 2 se divide en 4 grupos de ejrcicios, cada uno dividido en 5 problemas (a, b, c, d, e) acordes a los temas de la Unidad 2.
Cada estudiante selecciona una letra, para cada grupo de ejercicios, y comparte en el foro de la actividad su elección utilizando la siguiente tabla:
Tabla de elección de ejercicios
Estudiante Ejercicio
Ejemplo: Pedro Pérez a
Paso 2 – Revisión de los contenidos de la Unidad 2.
Ingresar al entorno de Aprendizaje y revisar las referencias sugeridas para la Unidad 2.
Paso 3 – Presentación de aportes en el foro colaborativo.
Solo se presentan avances de los ejercicios seleccionados en la Tabla de Elección de Ejercicios, estos avances deben compartirse mínimo 3 días hábiles
antes de la finalización de la actividad.
Paso 4 – Entrega del trabajo en el entorno de Evaluación.
Cada estudiante envía, en el entorno Evaluación, un documento en PDF con los siguientes elementos:

  • Portada.
  • Introducción.
  • Desarrollo de los problemas.
  • Conclusiones.
  • Referencias bibliográficas en normas APA versión 7.
  • El nombre del docmuneto debe ser (Número de grupo)_(nombre del estudiante)_Tarea1.pdf.
    Grupos de Ejercicios
    Grupo de ejercicios 1 – Optimización de Funciones en Varias Variables:
    Use los criterios de la segunda derivada (Hessiano) para determinar los puntos críticos y decidir si es un máximo, mínimo, punto silla o si simplemente el
    criterio no es concluyente. Cada paso del procedimiento debe estar debidamente justificado. No está permitdo usar multiplicadores de Lagrange.
    a) En la construcción de un sistema de redes se necesita ubicar el Conversor sobre la superficie 𝑦2 = 9 + 𝑥𝑧 de tal forma que quede lo más cerca posible a
    la batería que absorbe la fluctuación de salida. Realice un dibujo en Geogebra del problema ubicando la batería en el origen y halle las
    coordenadas del Conversor.
    b) Una empresa solicita una pieza de software, cuya velocidad de cómputo sea lo mayor posibe. El equipo de diseño sabe que la velocidad 𝑣(𝑥, 𝑦) =
    𝑥2𝑦𝑒−𝑥2− 𝑦2 de esta pieza está determinada por la escabilidad 𝑥 (numero de datos) junto con la cantidad de memoria 𝑦 (usada por el software). Realice
    un dibujo en Geogebra del problema, y encuentre la escabilidad y memoria que dan la velocidad máxima de computo.
    c) Se requeire construir una antena parabólica de tal forma que el costo de instalación sea lo menor posible. Se sabe que 𝑥2 + 𝑦2 es el costo de
    transporte y que 1 − 4𝑥𝑦 es el costo de embalaje, donde 𝑥 es la altura de la antena, 𝑦 es el radio superior de la antena. Realice un dibujo en Geogebra
    del problema y halle la altura y radio superior de la antena con el menor costo de instalación.
    d) La FIFA requeire el diseño de un sistema de detección automática de goles (DAG), para esto se necesitan ubicar cuatro cámaras sobre cuatro vértices
    distintos (y que no estén sobre el mismo plano) de una caja rectangular cuya área superficial total es de 6400 m2 de tal forma que el volumen de
    esta caja sea lo mayor posible. Realice un dibujo en Geogebra del problema ubicando una de las cámaras en el origen y halle las distancias entre las
    cámaras.
    e) Para el diseño de un concentrador multimedia (DMR) de base cuadrada 1 × 1, en el plano 𝑥𝑦, se necesita que la tapa superior pase por las
    coordendas 𝑃 = (0,0,1), 𝑄 = (1,1,1). Realice un dibujo en Geogebra el DMR (ponga una de sus esquinas en el origen) y halle las dimensiones del DMR
    para que su volumen sea lo más grande posible. La fórmula del volumen que está por debajo del plano 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑, y que tiene base 1 × 1 es
    2𝑑−𝑎−𝑏2𝑐 .
    Grupo de ejercicios 2 – Multiplicadores de Lagrange:
    Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los valores extremos. Cada paso del procedimiento debe estar debidamente justificado
    a) El fabricante de pelotas de golf, Pro-T, ha desarrollado un modelo de ganancias que depende del número de pelotas de golf vendidas por mes 𝑥
    (medido en miles), y el número de horas por mes de publicidad 𝑦, según la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 25𝑥 − 2𝑥2 − 5𝑦2 + 2𝑥𝑦 + 40𝑦, donde 𝑧 se mide en miles de dólares. La función de restricción
    presupuestaria que relaciona el costo de producción de miles de pelotas de golf y unidades publicitarias está dada por 20𝑦 − 𝑥 = 150.
    Encuentre los valores de 𝑥 e 𝑦 que maximizan la ganancia. Realice una interpretación y análisis de los resultados obtenidos de por lo menos 70 palabras.
    b) Una compañía de cómputo tiene un presupuesto mensual para publicidad que debe distribuir con la fórmula 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 32, donde el gasto en
    publicidad es 𝑥 para redes sociales, 𝑦 para televisión y 𝑧 en periódicos. Se estima que el gasto para publicidad en televisión debe ser igual al gasto en
    publicidad de redes sociales más el gasto en periódicos para que la utilidad sea 𝑈 = 𝑥𝑦𝑧 Determine como asignar el presupuesto publicitario para
    maximizar la utilidad mensual. Realice una interpretación y análisis de los resultados obtenidos de por lo menos 70 palabras.
    c) El plano 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 1 corta el cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 9 en una elipse.
    Encuentre los puntos en la elipse que se encuentran más cerca y más lejos del origen. Realice una interpretación y análisis e de los resultados
    obtenidos de por lo menos 70 palabras.
    d) El fabricante de balones de futbol ha desarrollado un modelo de ganancias que depende del número de balones vendidos por mes 𝑥 (medido en miles),
    y el número de horas por mes de publicidad 𝑦, según la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) =50𝑥 + 95𝑦 − 𝑥2 − 3𝑥𝑦 − 8𝑦2, donde 𝑧 se mide en miles de dólares. La función
    de restricción presupuestaria que relaciona el costo de producción de miles de los balones y unidades publicitarias está dada por 7𝑥 + 1021 = 96𝑦.
    Realice una interpretación y análisis de los resultados obtenidos de por lo menos 70 palabras.
    e) La publicidad en periódicos siempre tiene algunos efectos negativos. Una empresa de Telecomunicaciones desea realizar una campaña para tres de
    sus nuevos productos, Internet, Telefonía móvil y telefonía fija. Para esta campaña cada producto tendrá un anuncio publicitario con espacios 𝒙, 𝒚, 𝒛,
    respectivamente. El efecto adverso combinado de esta publicidad, se estimó como 𝑵(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐. Consideraciones estéticas determinaron que el
    espacio para 𝒙 y 𝒛 debe cumplir, 𝒙 más el doble de 𝒛 debe ser 4 unidades, y consideraciones objetivas sugirieron que el espacio total asignado para 𝒙, 𝒚
    juntos debía ser 8 unidades ¿Qué valores de 𝒙, 𝒚, 𝒛 en cada anuncio produciría el menor efecto negativo? Realice una interpretación y análisis de los resultados obtenidos de por lo menos 70 palabras
    Grupo de ejercicios 3 – Integrales Dobles:
    En los siguientes problemas tenga en cuenta las definiciones adicionales que se proporcionan a continuación:
  • Si 𝒙, 𝒚 son dos números reales, entonces la función 𝐦𝐢𝐧{𝒙, 𝒚} indica el mínimo entre los dos valores, por ejemplo, si tomamos los números −𝟏 y el número
    𝟐 entonces 𝐦𝐢𝐧{−𝟏, 𝟐} = −𝟏.
  • Si 𝒙, 𝒚 son dos números reales, entonces la función |𝒚 − 𝒙| el valor absoluto de la diferencia entre los dos números, por ejemplo, si tomamos los números
    𝟑 y el número −𝟓 entonces |𝟑 − (−𝟓)| = |𝟑 + 𝟓| = 𝟖. Note que en este caso si cambiamos el orden, el resultado no cambia, es decir, |−𝟓 − 𝟑| = |−𝟖| = 𝟖, por
    tal motivo, |𝐱 − 𝐲| = |𝐲 − 𝐱|.
  • Si 𝒙, 𝒚 son dos números reales, entonces la función [[𝒙 + 𝒚]] indica el mayor entero que está por debajo del valor 𝒙 + 𝒚 , por ejemplo, si tomamos los
    números −𝟏. 𝟑 y el número 𝟓. 𝟕 entonces la suma de los dos valores es −𝟏. 𝟑 + 𝟓. 𝟕 = 𝟒. 𝟒, y el mayor entero que está por debajo de 𝟒. 𝟒 es precisamente el
    entero 𝟒.
  • Si 𝒙, 𝒚 son dos números reales, entonces la función 𝒔𝒊𝒈{𝒙 − 𝒚} indica el signo que resulta de la diferencia entre los dos valores, por ejemplo, si tomamos los números −𝟕 y el número −𝟐 entonces 𝒔𝒊𝒈{−𝟕 − (−𝟐)} = 𝒔𝒊𝒈{−𝟓} = −𝟏. Note
    que esta función toma solo valores 𝟏 o −𝟏, y el valor 𝟎 para cuando consideremos 𝒔𝒊𝒈{𝟎}.
  • Si 𝒙, 𝒚 son dos números reales, entonces la función {𝒙 + 𝒚} indica la función 𝒙 + 𝒚 − [[𝒙 + 𝒚]]. Por ejemplo, si consideramos los valores −𝟏. 𝟑 y 𝟓. 𝟕 de arriba, entonces {−𝟏. 𝟑 + 𝟓. 𝟕} = 𝟎. 𝟒
    Con base a la especificación realizada anteriormente, desarrolle la integral correspondiente al numeral escogido en el Paso 1:
    a) ∫ ∫ 𝑥 min {𝑥, 𝑦}𝑑𝑥𝑑𝑦
    2
    0
    1
    0
    b) ∫ ∫ |𝑦 − sin 𝑥 |𝑑𝑦𝑑𝑥
    1
    0
    𝜋
    0
    c) ∫ ∫ [[𝑥 + 𝑦]]𝑑𝑦𝑑𝑥
    2
    0
    1
    0
    d) ∫ ∫ 𝑥 sig{𝑥2 − 𝑦}𝑑𝑥𝑑𝑦
    2
    0
    1
    0
    e) ∫ ∫ 𝑦{𝑥 + 𝑦}𝑑𝑥𝑑𝑦
    Grupo de ejercicios 4 – Integrales Triples
    En este ejercicio se debe sustentar el desarrollo del problema, correspondiente a la letra elegida en el Paso 1, por medio de un video explicativo.
    No debe incluir el desarrallo de este ejerccio en el documento final, debe ubicar el enlace al video que debe ser generado por Loom,
    Youtube o Teams. A continuación, se deja una lista de chequeo para el vídeo:
  • Grabar el video por medio de un dispositivo que permita utilizar cámara y voz: como un celular o la cámara del computador.
    En el video el estudiante debe presentarse, en Inglés, indicando código,
    grupo y mostrando el rostro.
  • El estudiante debe grabarse mientras desarrolla y explica el problema en un tablero o una hoja de papel o un tablero virtual, donde deje claro los pasos,
    propiedades y métodos utilizados para llegar a la respuesta final. En el video no se permite solo hacer la lectura del desarrollo del
    problema. (Esta parte del video puede ser en español).
  • El video no debe superar los 5 minutos.
  • Problema a sustentar en el video. Con base en la gráfica de las superficies de las funciones de tres variables de la imagen correspondiente al numeral escogido en el Paso 1:
    I. Escribir la integral triple y presentar un análisis de cómo determinar la región de integración.
    II. Resuelva la integral triple plantead
    a)
    Figura 1 Región de integración dada por la intersección de tres palnos y un superficie parabólica
    b)
    Figura 2 Región de integración dada por la intersección de cuatro planos y una superficie generada por una función raíz de una variable
    c)
    Figura 3 Región de integración dada por la intersección de cuatro planos y una superficie dada por un parábola
    d)
    Figura 4 Región de integración dada por la intersección de cuatro planos
    e)
    Figura 5 Región de integración dada por la intersección de un plano y un paraboloide

Cálculo Multivariado
Tarea 3 Cálculo Vectorial
Grupos de Ejercicios
Grupo de ejercicios 1 – Superficies:
En este ejercicio se debe sustentar, por medio de un video explicativo y de acuerdo con la letra elegida en la tabla del Paso 1, la solución de las
siguientes preguntas:
I. ¿Cómo obtener una parametrización para la superficie 𝑀?
II. ¿Cómo asignar una orientación a la superficie 𝑀 y a su frontera para que ambas orientaciones sean compatibles?
No debe incluir el desarrollo de este ejerccio en el documento final, debe ubicar el enlace al video que debe ser generado por Loom, Youtube o
Teams. A continuación, se deja una lista de chequeo que debe cumplir el vídeo:

  • Grabar el video por medio de un dispositivo que permita utilizar cámara y voz.
  • En el video el estudiante debe presentarse en Inglés, indicando código, grupo y mostrando el rostro.
  • El estudiante debe grabarse mientras desarrolla y explica el ejercicio en un tablero o en una hoja de papel o un tablero virtual, en donde
    deje claro los pasos, propiedades y métodos utilizados junto con la respuesta final. En el video no se permite solo hacer la lectura del desarrollo del ejercicio. (Esta parte del video puede ser en
    español)
  • El video no debe superar los 5 minutos.
    a) 𝑀 es la intersección del cubo de vértices en los puntos
    (0,0, 𝑎), (0, 𝑎, 0), (𝑎, 0,0) con el plano 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3𝑎
    2 .
    b) 𝑀 es el triángulo de vértices (0,0, 𝑎), (0, 𝑎, 0), (𝑎, 0,0).
    c) 𝑀 el hemisferio 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2, con 𝑧 ≥ 0.
    d) 𝑀 es la parte de la hipérbola parabólica 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 que está dentro
    del cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 4.
    e) 𝑀 es la parte del plano 𝑥 + 𝑧 = 5 dentro del cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 4
    Grupo de ejercicios 2 – Campos Vectoriales:
    Para el siguiente grupo de ejercicios se le pide determinar las líneas de flujo del campo vectorial 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦). Posteriormente dibuje algunas líneas de flujo, y algunos vectores del campo vectorial. Estos dibujos no serán en
    4
    geogebra, para esto deberá emplear lápiz y papel, luego tomará una foto y adjuntará dicha foto a su trabajo.
    a) 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦)
    b) 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦) = (𝑥3, −𝑦3)
    c) 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦) = (1, 𝑦)
    d) 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦) = (−𝑦, 𝑥)
    e) 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦) = (𝑦2, 𝑥)
    Grupo de ejercicios 3 – Teorema de Green:
    En este grupo de ejercicios, según el numeral escogido en el Paso 1, debe usar el teorema de Green para:
  • Calcular el trabajo efectuado por el campo de fuerzas 𝐹⃗ al mover una partícula sobre la elipse 2𝑥2 + 𝑦2 = 4 en sentido positivo.
  • Construir una gráfica en GeoGebra que evidencie la curva y su orientación.
  • Escibir una conclusión, de mínimo 100 palabras, con respecto a los resultados encontrados.
    a) 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦) = (y + 3x , 2y − x).
    b) 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦) = (y + x , y − 2x).
    c) 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦) = (y + 5x , y − 2x).
    d) 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦) = (5y + 5x , 2y − 2x).
    e) 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦) = (y + x , y − x).
    Grupo de ejercicios 4 – Teorema de Stokes:
    Para el campo vectorial 𝐹⃗ y superficie 𝑀, correspondiente a la letra escogida en el Paso 1, debe verificar que se cumple el Teorema de
    Stokes, es decir, verificar que los valores de la integral de línea y la integral de superficie coinciden.
    a) 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦2 − 𝑧2 , 𝑧2 − 𝑥2 , 𝑥2 − 𝑦2 ) y 𝑀 es la intersección del cubo de vértices en los puntos (0,0, 𝑎), (0, 𝑎, 0), (𝑎, 0,0) con el plano 𝑥 + 𝑦 +
    𝑧 = 3𝑎
    2 .
    b) 𝐹⃗ ((𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦2 , 𝑧2 , 𝑥2 ) y 𝑀 es el triángulo de vértices
    (0,0, 𝑎), (0, 𝑎, 0), (𝑎, 0,0).
    c) 𝐹⃗ ((𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥𝑦𝑧 , 𝑥 , 𝑧) y 𝑀 el hemisferio 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2, con 𝑧 ≥ 0.
    d) 𝐹⃗ ((𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−y, x, 2z) y 𝑀 es la parte de la hipérbola parabólica 𝑧 =
    𝑥2 + 𝑦2 que está dentro del cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 4.
    e) 𝐹⃗ ((𝑥, 𝑦, 𝑧) = (xy, 3y, 5y) y 𝑀 es la parte del plano 𝑥 + 𝑧 = 5 dentro del cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 4.
    Grupo de ejercicios 5 – Teorema de Gauss:
    En este grupo de ejercicios, según el numeral escogido en el Paso 1, debe usar el teorema de la diverngencia de Gauss para hallar el volumen del sólido 𝐸, es decir, debe hallar volumen usando integrales
    de superficie.
    a) 𝐸 es el sólido acotado por los planos 𝑧 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 2 y el paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 − 4.
    b) 𝐸 es la esfera de radio 𝑟 centradra en el origen (0,0,0).
    c) 𝐸 es el sólido acotado por el paraboloide 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 y el plano 𝑧 = 0.
    d) 𝐸 es el sólido acotado por los planos 𝑧 = 1 + 2𝑥 + 3𝑦, 𝑧 = 0, 𝑥 = 3, 𝑥 = 0, 𝑦 = 2, 𝑦 = 0
    e) 𝐸 es el tetraedro con vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0), (0,0,2).
    Grupo de ejercicios 6 – Participación en un evento nacional o
    internacional:
    Cada estudiante debe participar de forma presencial, sincrónica o asincrónica en una conferencia, charla, taller, congreso o workshop en relación a las matemáticas aplicadas a la ingeniería u otras disciplinas y
    dar respuesta a las siguientes preguntas:
  • Nombre del evento
  • Nombre de expositor
  • ¿Cuál es el objetivo del evento?
    6
  • ¿Qué aprendizaje obtuvo de las actividades realizadas en el evento?
    El resumen debe contener mínimo 200 palabras.
  • Adicionar 3 pantallazos donde se evidencia que participó en la
    conferencia, charla, taller, congreso y workshop con relación a las
    matemáticas aplicadas a la ingeniería u otras disciplinas.

CÁLCULO MULTIVARIADO
Unidad 1- Funciones de varias variables y diferenciación.
Unidad 2 – Optimización e integración.
Unidad 3 – Cálculo vectorial.
Tarea 0 – Saberes que abordan conocimientos previos.
*Actividad: Analizar conceptos y aplicación de saberes previos.
*Entorno del aula donde se realiza: Entorno de evaluación.
*Producto a entregar: Responder cuestionario de evaluación de conocimientos previos.
Tarea 1 – Funciones de varias variables y diferenciación.
*Actividad: Resolver problemas y ejercicios de funciones de varias variables.
*Entorno del aula donde se realiza: Entorno de Aprendizaje y Evaluación.
*Producto a entregar: Informe final en pdf con el desarrollo de los problemas planteados en la Guía de actividades.
Tarea 2 – Optimización e integración.
*Actividad: Resolver problemas y ejercicios sobre valores extremos e integración de funciones de varias variables.
*Entorno del aula donde se realiza: Entorno de Aprendizaje y Evaluación.
*Producto a entregar: Informe final en pdf con el desarrollo de los problemas planteados en la Guía de actividades.
Tarea 3 – Cálculo Vectorial.
*Actividad: Resolver problemas y ejercicios de cálculo vectorial.
*Entorno del aula donde se realiza: Entorno de Aprendizaje y Evaluación.
*Producto a entregar: Informe final en pdf con el desarrollo de los problemas planteados en la Guía de actividades.
Tarea 4 – Evaluación final.
*Actividad: Aplicar los conceptos del cálculo en varias variables y el cálculo vectorial.
*Entorno del aula donde se realiza: Entorno de Evaluación.
*Producto a entregar: Responder cuestionario de evaluación nacional sobre las tres unidades del curso.

Tarea 0 CÁLCULO MULTIVARIADO UNAD
Tarea 1 CÁLCULO MULTIVARIADO UNAD
Tarea 2 CÁLCULO MULTIVARIADO UNAD
Tarea 3 CÁLCULO MULTIVARIADO UNAD
Tarea 4 CÁLCULO MULTIVARIADO UNAD

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