Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales
Anexo 2- Ejercicios Tarea 1
A continuación, se presentan los 6 ejercicios de la Tarea 1.
Ejercicios 1. Ecuaciones diferenciales Separables.
Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden con condición inicial empleando el método de variables separables.
tan⁡x dy/dx=y;  y(π/2)=π\/2
Y´=12x/(y+3x^2 y) ; y(0)=1
x dy/dx=(y-2)/x ; y(1)=3 
dy/dx=〖3((1-x)/(1-y))〗^3; y(1)=1
2x^2 y dy=(1+x^2 )dx   ;    y(1)=-2
Ejercicio 2. Ecuaciones diferenciales homogéneas.
Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas.
Observación: Es imperativo probar que la ecuación diferencial es homogénea.
(xe^(y/x)+y)dx=xdy;   y(1)=0
(2x^5+3y^5)/(xy^4 )=Y^’; y(1)=1
dy/dx=tan⁡(6y/x)+y/(x ) ;   y(12)=π
(xy^3-2x^2 y^2 )dx=-x^2 y^2 dy;  y(1)=2
y^’=(y+2 x e^(-y/x))/x   ;   y(1)=0
Ejercicios 3 – Ecuaciones Diferenciales Exactas y Factor integrante
Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales empleando el método de ecuaciones exactas
Observación: Es imperativo probar que la ecuación diferencial es exacta, en caso de que no sea se recomienda usar el método del factor integrante.
(e^x sin⁡y+tan⁡y )dx+(e^x cos⁡y+x sec^2⁡y )dy=0,   y(0)=π/4.
dy/dx=(4xy^2)/(2y+3x^2 y)
(cos⁡(x)y+y^2 )dx+(sen(x)+2xy)dy=0
y^2 dx+xydy=0, y(1)=1
(x+3x^3 sⅇn(y))ⅆx+(x^4 cos⁡(y) )ⅆy=0
Ejercicio 4. Ecuaciones diferenciales lineales y factor integrante.
Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales empleando el método del factor integrante.
y^’=1/2 (1-y) cos⁡x;   y(0)=1
y´-3/x y=4x^4 ; y(2)=1
y^’+2xy=2x  ;    y(1)=2
(x+x^2 ) y^’-x^2 y=2(x^2+x^3 ), y(0)=0
ⅆy/ⅆx+2/x y=cos⁡(x)/x^2    ;   y(0)=-3
Ejercicios 5 – Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales
Solucionar el problema de aplicación de las ecuaciones diferenciales asignado por la letra elegida, utilizando los métodos vistos en esta unidad y de manera obligatoria tomar como guía de trabajo las siguientes preguntas orientadoras para resolver organizadamente el problema:
Preguntas orientadoras
¿Cuál es el enunciado del problema que me corresponde resolver?
¿Cuál sería el bosquejo, diagrama o gráfica qué explique la situación problema planteada?
¿Cuál es la ecuación diferencial que modela la situación problema?
¿Cuál es el método utilizado para encontrar la solución general y(t) de la ecuación diferencial? (Detalle paso a paso de este método).
De acuerdo con la pregunta del problema planteado, ¿cuáles son los procedimientos algebraicos necesarios para llegar a la solución particular y_0 (t_0 )?
¿Por qué esta solución particular encontrada en el anterior ítem es la solución de este problema?
Problemas planteados
Problema de mezclas: Un tanque contiene 200 litros de un líquido, en él se han disuelto 30 g de sal. La salmuera tiene 1 g de sal por litro entra a razón de 4 litros por minuto; la solución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. Encuentre la cantidad A(t) de gramos que hay en el tanque al tiempo t .
Aplicación al crecimiento poblacional: En un censo realizado en enero del año 2000 a la población de Guayaquil, se ha podido determinar que para el año 2017 la constante es k=0,12 y su población es de 2,1 Millones de personas, determinar la Ecuación diferencial que modele el crecimiento de Guayaquil, y determine ¿cuál sería su población en 20 años?
Aplicación de modelo de enfriamiento de Newton: Una cierta fruta se enfría de acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton en un refrigerador de temperatura constante de 5° C, donde la constante de proporcionalidad está dada por k=-0,11. Calcular la temperatura de la fruta pasado 10 minutos (t=10) de haber sido introducida en el refrigerador sabiendo que la temperatura inicial de la fruta era de 25° C.
Aplicación de modelo de enfriamiento de Newton: Se introduce agua para preparar café en un recipiente que, inicialmente marca una temperatura ambiente de 20 °C, como la hornalla está encendida, se observa que la temperatura es 50 °C, luego, pasados 10 minutos más tarde, marca 90 °C. ¿Cuál es la temperatura de la hornalla? ¿En qué momento llegará a los 100 °C.
Aplicación al crecimiento poblacional: Se sabe que la tasa de crecimiento de una determinada población de bacterias es directamente proporcional al número de bacterias existentes. Se realiza un cultivo en laboratorio, introduciendo 2.6 millones de bacterias en un recipiente y se observa que la población se duplica cada 4 horas. Calcular la población existente al cabo de 12 horas.
Ejercicio 6. Sustentación del ejercicio 5.
Realizar un video sustentando el ejercicio 5 y tomar como guía las siguientes orientaciones con los tiempos sugeridos. Tenga en cuenta que estas pautas corresponden a las respuestas que usted dio a las preguntas orientadoras del ejercicio 5 y es obligatorio que utilice para esta sustentación la plantilla del ejercicio 5 que se encuentra en el Anexo 1 – Presentación Tarea 1 (el mismo utilizado para entregar todo trabajo), por favor no utilizar diapositivas u otro tipo de documentos diferentes.
Pautas para el contenido del video de sustentación.
Primero: mostrar su rostro antes de iniciar la sustentación junto con su cédula o documento que lo identifique, decir su nombre completo, código y grupo. (Máximo 20 segundos).
Segunda: exponer pregunta orientadora 1 mostrando el problema que le correspondió resolver. (Máximo 20 segundos).
Tercero: exponer la pregunta orientadora 2 explicando brevemente mediante el bosquejo, diagrama o gráfica la situación problema planteada. (Máximo 60 segundos)
Cuarto: exponer la pregunta orientadora 3 mostrando la ecuación diferencial que modela la situación problema. (Máximo 20 segundos).
Quinta: exponer la pregunta orientadora 4 describiendo brevemente el método utilizado para encontrar la solución general de la ecuación diferencial. (Máximo 60 segundos).
Sexto: exponer la pregunta orientadora 5 explicando brevemente mediante qué procedimientos algebraicos se llega a la solución particular que resuelve la pregunta del ejercicio 5. (Máximo 60 segundos).
Séptimo: exponer la pregunta orientadora 6 argumentando con sus propias palabras porque la solución particular encontrada en el anterior ítem es la respuesta correcta a la pregunta planteada en el ejercicio 5. (Máximo 60 segundos).
Observe que siguiendo estas pautas tardará máximo 300 segundos o 5 minutos en su sustentación.
Pautas tecnológicas de la sustentación
Grabación del video por medio de un aplicativo que permita utilizar cámara, voz y pantalla; se sugiere Loom o youtube. Debe generar un enlace para incorporar en el trabajo.
Sustenta de manera individual el ejercicio asignado y que hace parte del trabajo final; se debe grabar el video enfocando el rostro y a su vez compartiendo pantalla donde se observe la solución del problema, con un tiempo máximo de 5 minutos.